PÊNDULO

Uma discussão sobre as Oscilações Pendulares

Outra proposta para trabalhar a Conservação da Energia Mecânica, é a discussão realizada por Galileu em seu livro Duas Novas Ciências sobre o Pêndulo Simples, onde relata ter chegado à conclusão de que a proporção entre os tempos de oscilação de corpos suspensos por fios de diferentes comprimentos estão entre si na mesma proporção que as raízes quadradas dos comprimentos dos fios, como mostra a Equação 1 (GALILEU, 1988), após ter estudado os períodos de oscilação de pêndulos com diversos comprimentos.

Outra observação realizada através da experimentação é de que o período de oscilação de um pêndulo simples não depende da massa do corpo suspenso, ela pode ser a mesma para um corpo que possui uma massa cem vezes maior que o outro.

Para a modelagem deste experimento, percorremos as seguintes etapas:

1ª Etapa: É necessário fixar uma base (retangular ou quadrada) a uma certa altura do solo e nela fixar uma corda com um circulo de massa arbitrária em sua outra extremidade Figura 1. A estrutura do Pêndulo Simples pode ser montada com outros objetos, a corda pode ser substituída por uma corrente, porém é necessário que se realize testes a fim de verificar os melhores materiais e seus desempenhos a fim de obter um resultado experimental mais preciso.

Figura 1: Estrutura do pêndulo simples

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Com a estrutura montada, a opção vetorial deve ser selecionada Figura 2, para que, quando posto em movimento, seja possível realizar uma análise a respeito da Força Peso, Tração, Velocidade e as demais variáveis que forem necessárias.

Figura 2: Pêndulo Simples e grandezas vetoriais

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Para realizar a análise mais clara das variáveis com o corpo em movimento é interessante adicionar o rastro (attach tracer) na trajetória do objeto Figura 3. Com base nesta modelagem, é possível trabalhar a Conservação da Energia Mecânica com e sem a resistência do ar. E, além disso, outros conteúdos podem ser envolvidos, como oscilações pendulares, período, frequência dentre outros. 

Figura 3: Pêndulo Simples em movimento.

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Nesta modelagem é possível que a densidade do corpo suspenso seja alterada, assim como seu formato, cor, textura e material; o comprimento do fio e a intensidade da resistência do ar também podem ser alteradas, a fim de verificar e compreender a relação de cada uma dessas variáveis durante a oscilação do pêndulo.

Além do estudo do pêndulo simples, Galileu estendeu suas discussões sobre oscilações pendulares por um pêndulo interrompido por um prego e como mostra a Figura 4 realizou a análise o comportamento das oscilações pendulares nessa situação.

Figura 4: Reconstrução do esboço realizado por Galileu

Fonte: Construído pela autora

Desconsiderando a resistência do ar e levando uma massa até a posição C e deixando-a livre, ela se movimentará ao longo de um arco CBD, passando pelo ponto B e depois pelo arco BD até atingir o ponto D e alcançar a linha horizontal CD. Em outras palavras, no movimento de descida da massa, ela adquire velocidade suficiente ao alcançar o ponto B para levá-la até a mesma altura onde foi solta (desprezando a resistência do ar). Ao interromper esse pêndulo por um prego no ponto E, e soltar a massa do ponto C novamente, veremos que a massa tem a mesma trajetória no arco CB, mas ao atingir a posição B não consegue ultrapassar o prego e alcançar a linha CD, pois a linha encontra o prego no ponto E e é obrigada a percorrer o arco BG, que tem como centro o ponto E (GALILEU, 1988).

Com base na proposta de Galileu temos que, se os arcos CB e DB forem iguais, a velocidade que o corpo irá adquirir ao percorrer o arco CB é a mesma ao percorrer o arco DB e, sem a resistência do ar, é capaz de elevar a massa até a linha CD,

Utilizando as descrições fornecidas por Galileu, reproduzimos seu experimento como mostra a Figura 5.

Figura 5: Pêndulo Simples interrompido por um prego

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Para uma melhor adequação e interação com a parte histórica, foi inserido como fundo na simulação o esboço realizado por Galileu sobre a interferência na trajetória do corpo, como mostra a Figura 6.

Figura 6: Representação do experimento realizado por Galileu

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Para um desfecho da discussão sobre a Conservação de Energia Mecânica, a seguinte modelagem une a rampa e o Pêndulo Simples, como mostra a Figura 7:

Figura 7: Interação da rampa com o pêndulo

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

A escolha das cores, escalas e materiais foram arbitrárias e podem ser alteradas sem influenciar na funcionalidade da modelagem.

Sugestões à modelagem do experimento

É importante nessa etapa promover uma discussão a respeito da validade, semelhanças e diferenças dos dois experimentos para o estudo da conservação da Energia Mecânica. 

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PLANO INCLINADO

Um pouco de história da ciência: Galileu e o Plano Inclinado

Durante os estudos realizados por Galileu a respeito da Queda livre, o plano inclinado teve um papel imprescindível. Em seu livro Duas Novas Ciências, o autor traz uma discussão entre seus personagens abordando o problema do plano inclinado e demonstra matematicamente que o espaço percorrido por um corpo é proporcional ao quadrado do tempo (GALILEU, 1988).

Para compreender melhor o teorema demonstrado por Galileu, vamos analisar sua definição de movimento acelerado, na qual considera que quando um corpo parte do repouso adquire em tempos iguais momentos iguais de velocidade (GALILEU, 1988), Equação 1.

Considerando então um corpo em queda livre, temos que o espaço percorrido por ele em qualquer instante é igual ao quadrado dos tempos, em termos algébricos:

Para Galilei, (1988, p.167): “Os graus de velocidade alcançados por um mesmo móvel em planos diferentemente inclinados são iguais quando as alturas desses planos também são iguais”. Para uma melhor compreensão vamos analisar a Figura 1 extraída da obra de Galilei, que mostra três possíveis trajetórias para um corpo partindo do ponto C que ao chegar ao ponto B, D ou A teriam a mesma velocidade independente do trajeto percorrido.

Figura 1: Plano Inclinado de Galileu

Fonte: Galileu, 1988, p.167

O filósofo também analisou planos com alturas iguais e inclinações diferentes e concluiu que a razão dos tempos empregados pra descer os planos diversamente inclinados é igual a razão de seus comprimentos (desde que tenham a mesma altura), é expresso pela Equação 3:

Galileu também considerou planos com comprimentos iguais e alturas diferentes e concluiu que os tempos empregados na descida por planos de mesmo comprimento é igual a proporção inversa das raízes quadradas e suas respectivas alturas (considerando diferentes inclinações), como mostra a Equação 4:

Galileu também descreve o experimento supostamente realizado para a elaboração do teorema:

Numa ripa ou, melhor dito, numa viga de madeira com um comprimento aproximado de 12 braças, uma largura de meia braça num lado a três dedos do outro, foi escavada uma canaleta neste lado menos largo com um pouco mais de um dedo de largura. No interior desta canaleta perfeitamente retilínea, para ficar bem polida e limpa, foi colada uma folha de pergaminho que era polida para ficar bem lisa; fazíamos descer por ele uma bola de bronze duríssima perfeitamente redonda e lisa. Uma vez construído o mencionado aparelho, ele era colocado numa posição inclinada, elevando-se sobre o horizonte uma de suas extremidades até a altura de uma ou duas braças, e se deixava descer a bola pela canaleta, anotando como exporei mais adiante o tempo que empregava para uma descida completa; repetindo esta experiência muitas vezes para determinar a quantidade de tempo, na qual nunca se encontrava uma diferença nem mesmo da décima parte de uma batida de pulso. Feita e estabelecida com precisão tal operação, fizemos descer a mesma bola apenas a quarta parte do comprimento total da canaleta; e, medido o tempo de queda, resultava ser rigorosamente igual à metade do outro. Variando a seguir a experiência e comparando o tempo requerido para percorrer todo o comprimento com o tempo requerido para percorrer a metade, ou dois terços ou três quartos, ou qualquer outra fração, por meio de experiências repetidas mais de cem vezes, sempre se encontrava que os espaços percorridos estavam entre si com os quadrados dos tempos e isso em todas as inclinações do plano, ou seja, da canaleta, pela qual se fazia descer a bola. Observamos também que os tempos de queda para as diferentes inclinações mantinham exatamente entre si aquela proporção que, como veremos mais adiante, foi encontrada e demonstrada pelo autor. No que diz respeito à medida do tempo, empregávamos um grande recipiente cheio de água, suspenso no alto, o qual por um pequeno orifício feito no fundo deixava cair um fino fio de água, que era recolhido num pequeno copo durante todo o tempo que a bola descia pela canaleta ou por suas partes. As quantidades de água assim recolhidas eram a cada vez pesadas com uma balança muito precisa, sendo as diferenças e proporções entre os pesos correspondentes às diferenças proporções entre os tempos; e isto com tal precisão que, como afirmei, estas operações, muitas vezes repetidas, nunca diferiam de maneira significativa.

        

Simplício: Teria sido grande a satisfação em presenciar tais experiências; contudo, estando certo do seu zelo em efetuá-las e de sua fidelidade em relatá-las, não tenho escrúpulo em aceitá-las como verdadeiras e certas (GALILEU, 1988, p.174-175).

Modelando o Experimento no software Algodoo

Experimento realizado no Software Algodoo, com o tema: Plano inclinado

Fonte: Experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Com base na descrição fornecida por Galileu sobre o experimento do plano inclinado, montamos a seguinte modelagem:

1º Momento:

1ª Etapa: Como ponto de partida é necessário construir um plano inclinado na forma de um triângulo retângulo de inclinação arbitrária como mostra a Figura 2:

Figura 2: Construção do plano inclinado 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Sobre o plano inclinado deve-se modelar um círculo de massa e volume aleatório e selecionar a opção vetorial, para facilitar a análise componentes vetoriais, força, normal e velocidade, assim como mostra a Figura 3:

Figura 3: Experimento do plano inclinado com as componentes vetoriais selecionadas 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

O experimento pode ser repetido com planos inclinados de diferentes comprimentos e alturas.

2º Momento:

1ª Etapa: Para trabalhar a Energia Mecânica e a sua conservação, é necessário construir uma rampa, para isso, é preciso modelar dois planos inclinados ligados por um arco, de modo que os dois lados tenham a mesma inclinação e a mesma altura, como mostra a Figura 4:

Figura 4: Rampa formada por dois planos inclinados e um arco 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Após a construção da rampa, deve-se colocar sobre o arco uma circulo e tamanho e densidade arbitrários, como mostra a Figura 5 e acionar a opção de análise vetorial.

Figura 5: Rampa para o estudo da Energia Mecânica 

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

O experimento pode ser realizado com a resistência do ar ou no vácuo, conforme o objetivo da aula.

Sugestões à modelagem do experimento:

Ao analisar o movimento do corpo sob o plano inclinado, é imprescindível que o professor incentive os alunos a utilizarem sua criatividade e verificarem suas hipóteses, variando o ângulo de inclinação, alterando ou calibrando a escolha dos vetores, o valor da atração gravitacional, o atrito com o ar, alternado as características físicas do objeto e da superfície do plano inclinado.

Além da força e da velocidade, o plano inclinado permite a análise e reflexão de outras partes da física como, por exemplo, a energia mecânica, por isso, no segundo momento desta simulação foi modelada a seguinte situação.

No segundo momento do experimento todas as características tanto da rampa quanto do corpo que será posto em movimento podem ser alteradas também, desta maneira é possível trabalhar com os alunos a Transformação de Energia (Potencial Gravitacional em Energia Cinética), variando o atrito com o ar e com a superfície, é possível calcular a energia dissipada e, desconsiderando qualquer forma de atrito, é interessante trabalhar a Conservação da Energia Mecânica.

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QUEDA LIVRE

Experimento realizado no Software Algodoo, sobre a queda dos corpos sob influência da resistência do ar.
Fonte: Experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Experimento realizado no Software Algodoo, sobre a queda dos corpos sob influência sem a resistência do ar.
Fonte: Experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Um pouco de história da ciência: Galileu e a Queda dos Corpos

 

 O movimento de Queda dos Corpos é um fenômeno físico observado e discutido a centenas de anos. Segundo Aristóteles (384 – 322 a.C.) existia apenas dois tipos de movimentos naturais: o primeiro para baixo, como a água, terra, e o segundo para cima como o ar e o fogo. Já para Galileu Galilei (1564 – 1642 d.C.) existia apenas um movimento natural, o de cima para baixo, no qual todo corpo é pesado tendendo naturalmente por efeito da atração gravitacional cair em direção a Terra (DAMPLER, 1986); e esse era o ponto de principal divergência entre as duas teorias apresentadas.

A ciência galileana foi a primeira a conseguir aplicar os métodos de análise matemática aos fenômenos da dinâmica, pois até então eram utilizados apenas para a estática. Porém, essa mudança de concepção não correu rapidamente, ela foi gradativa e passou por diversas etapas.

Geymonat (1997) aponta que a primeira etapa foi a “quebra” da concepção de que qualquer corpo que cai livremente na Terra possui uma velocidade própria (grandeza física proporcional à massa de cada corpo), ou seja, de que durante o movimento de queda os corpos aceleravam apenas nos primeiros instantes, até atingir sua velocidade própria e a partir dela seguiam seu movimento com velocidade constante.

Mais tarde, em uma carta ao frei Paolo, Galileu começa a apresentar provas de ter chegado a uma análise exata da queda dos corpos, estabelecendo uma proporção entre o espaço percorrido e o tempo decorrido durante a trajetória, porém ainda considerava uma proporção direta entre a velocidade do corpo e a distância percorrida.

Repensando acerca das coisas do movimento nas quais, para demonstrar os acidentes por mim observados, faltava um princípio tão completamente indubitável que pudesse ser colocado como axioma, me vi reduzido a uma proposição que tem muito de natural e evidente; e esta suposição, demonstro depois o resto, é que os espaços percorridos pelo movimento natural se dão em proporção dupla dos tempos e, por consequência, os espaços percorridos em tempos iguais são como números ímpares, e as outras coisas. E o princípio é esse que o móvel natural vá crescendo de velocidade naquela proporção em que se afasta do início de seu movimento (GEYMONAT, 1997, p.36, grifo nosso).

Somente na terceira etapa foi que Galileu rompeu com as concepções alternativas sobre o movimento dos corpos e formulou o princípio da queda livre, no qual afirmava que a velocidade de um corpo grave cresce diretamente proporcional ao tempo e não ao espaço como pensava anteriormente, independente da diferença de peso.

Galileu atribuía o atrito com o ar sendo o responsável pela diferença de tempo na queda de corpos de massas diferentes de uma mesma altura, porém, como não possuía instrumentos apropriados para realizar o experimento sem a resistência do ar, manteve seu princípio baseado em teorias e experimentos mentais. Alguns anos após a sua morte, a bomba de vácuo foi inventada, e a teoria de Galileu confirmada experimentalmente, pois ao soltar uma pedra e uma pena as duas chegaram ao mesmo instante ao solo.

Modelando o Experimento no software Algodoo

Baseado nas mudanças de concepções que ocorreram até o princípio da queda livre ser formulado corretamente, a primeira simulação proposta no presente trabalho teve como objetivo demonstrar a experiência mental supostamente realizada por Galileu, pois, assim como ele e seus antecedentes, os alunos também possuem suas concepções sobre o fenômeno em questão e para que a aprendizagem seja realmente significativa é necessário que os alunos possam testar todas as suas hipóteses, investigar todas as possibilidades e interagir entre eles até que os mesmos consigam determinar a relação entre as grandezas físicas envolvidas nesse movimento.

Para uma melhor compreensão ela será realizada em dois momentos, o primeiro com a resistência do ar assim como realizado por Galileu e o segundo sem a resistência do ar, a fim de verificar a veracidade da teoria. A seguir temos as etapas de montagem e análise deste experimento:

1º Momento:

1ª Etapa: Inicialmente é necessário desenhar três círculos A, B e C (nominados arbitrariamente), sendo dois de mesmo volume, porém massas diferentes e um terceiro com um volume relativamente maior comparado com os dois primeiros, como mostra a Figura 1:

Figura 1: Informações sobre os círculos desenhados (massa e densidade) para realização de experimento de queda livre

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

2ª Etapa: Depois dos corpos estarem modelados, deve-se selecionar a opção vetorial para contribuir com a análise do movimento dos corpos; com essa ferramenta é possível verificar as componentes vetoriais como força peso, velocidade, força normal, força de atrito, e inúmeras outras variáveis.

Figura 2: Componente vetorial (Força peso), instante antes de serem abandonados

Fonte: Print screen de experimento virtual de queda livre construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Posteriormente, é necessário suspender os corpos a uma altura arbitrária, assim como mostra a Figura 2, na qual é possível verificar o vetor da força peso atuando sobre cada um dos corpos.

3º Etapa: Depois da altura escolhida e da força gravitacional ativada os copos podem ser abandonados sob a influência da resistência do ar.

Figura 3: Corpos em queda livre sob a influência da resistência do ar

Fonte: Print screen de experimento virtual de queda livre construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

A Figura 3 traz os três corpos em queda livre com a interferência da resistência do ar, e com base na análise vetorial é possível identificar os valores das componentes verticais que estão atuando sobre eles, como por exemplo, força peso, velocidade e atrito com o ar. Logo no início da queda, é possível verificar que a velocidade dos corpos em queda sofre interferência do atrito com o ar.

Figura 4: Corpos em queda livre sob a resistência do ar chegando ao solo

Fonte: Print screen de experimento virtual de queda livre construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Com base na Figura 4 é possível observar claramente que corpos de massas maiores chegam ao solo instante antes dos demais, assim como previsto por Galileu.

2º Momento:

1ª Etapa: Para testar e verificar a experiência realizada mentalmente por Galileu, que demonstra a teoria de que corpos de diferentes massas e volumes chegam ao solo com a mesma velocidade, ao serem abandonados de uma mesma altura no vácuo, deve-se suspender novamente os mesmo corpos, porém, a resistência do ar deve ser “desligada”.

Figura 5: Corpos em queda livre no vácuo

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

É possível verificar pela Figura 5 que, após os corpos serem abandonados de uma mesma altura, a velocidade de queda de cada um deles é exatamente a mesma cada segundo decorrido, ou seja, independente dos valores de seus volumes ou massas a velocidade de queda dos três corpos é a mesma, pois não estão sob a influência da resistência do ar.

Figura 6: Corpos em queda livre no vácuo chegando ao solo no mesmo instante

Fonte: Print screen de experimento virtual construído no Software Algodoo, produzido pela autora.

Assim como descrito por Galileu chegam ao solo no mesmo instante como mostra a Figura 6.

 Sugestões à modelagem do experimento

Ao utilizar essa simulação em sala de aula é imprescindível que o professor instigue seus alunos a testarem todas as suas hipóteses, variando os valores das massas, materiais, formatos e volumes dos objetos, para que por meio da simulação consigam identificar as variáveis que influenciam os corpos em queda livre aqui na Terra (ou seja, com a resistência do ar), para que os educandos consigam por meio da experimentação verificar que a velocidade de queda de um corpo depende apenas do tempo de queda e da aceleração da gravidade, e não de sua densidade ou formato.

Por meio desta modelagem é possível testar e verificar a influência de cada variável durante o movimento de queda livre, tanto no vácuo, pois, considerando um ambiente de sala de aula comum seria muito difícil de realizar essa prática sem possuir os equipamentos adequados (bomba de vácuo) para obter uma análise com precisão. Com essa simulação é possível trabalhar em sala de aula além da queda livre, lançamento vertical para baixo, lançamento vertical para cima, transformação de energia, energia dissipada e conservação da energia mecânica.


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